最終的にうまくいった方法は
・移設先サーバには最初からMySQL上のデータは移さない
・移設先サーバにてWordPressを初期インストール
・その後、pluginsやテーマを移設
・データベースはテーブル毎、データのみをphpMyAdminを使って移設
　プラグインによってテーブル構造が変化しているものはテーブル構造ごと移設
という流れでした。

うまくいかなかった原因ははっきり分かりません。
恐らくですが、移設前サーバのMySQLテーブルが壊れていた可能性があります。

前回の移設は比較的スムーズに進んだので、正直舐めてかかってました・・・

今回発生した問題は下記の通りです。

【文字化け】
MySQLのバージョンが異なっていても、同じでも発生。
phpMyAdminからデータをテーブルごとエクスポートし、phpMyAdminでインポートするとほぼ100%発生。
当たり前だが文字コードなどに問題がないことは確認済み。
最終的にコマンドラインからエクスポート～インポートすれば文字化けしないことが判明。

【記事の追加が出来ない】
文字化けせずにデータを移設した後に発生した問題。
正確には「記事」「カテゴリー」「コメント」など、全ての項目の追加が出来ない。
何度かMySQLのデータを移設していくうちに追加できる場合も。

【ウィジェットが反映されない】
ウィジェットが反映されない問題が発生。
ウィジェット関連のデータを突き合わせてみるが特に異常はなし。

【画像の追加が出来ない】
画像をアップロードしようとしてもデータベース側に反映されない。
画像はサーバ上へアップされている。

MySQLデータのエクスポート～インポートがどうもおかしいような気がして、何度もやり直したが、必ずいずれかの問題が発生。
今日の早朝(5時前・・・)、突然思いついたように起き出して、テーブルごとにデータを吐かせて読ませたらうまくいった、というわけです。

いろいろと疑って、現在はApache+MySQL+PHP全てソースインストール、という環境で動いています。
本当はApache –> lighttpdという環境、それに全てyumインストールで動かしたかったのですが(恐らく動くでしょう)。
せいぜいApacheをlighttpdへ変更する、ということくらいは今日にでも行いたいと思っています。